第一章

第一章：绝望的数学与天降校花
窗外的蝉鸣像永不停歇的催眠曲,教室里的空气闷热而压抑。
我叫林凡,一个普普通通的高二学生,如果非要说有什么不普通,那就是我的数学成绩——稳定地在及格线边缘疯狂试探,偶尔还会光荣地跌破它。
看着黑板上那堆如同天书般的函数图像和几何图形,我的大脑一片空白,只剩下无尽的绝望。
林凡,这道选择题你来回答一下。数学老师,人称灭绝师太的李老师,镜片后的目光像X射线一样扫了过来。
我僵硬地站起身,额头上渗出了细密的汗珠,支支吾吾了半天,一个字也憋不出来。
唉……李老师重重地叹了口气,那声音里充满了对朽木不可雕的无奈,坐下吧,课后好好反思一下！
周围传来几声压抑的窃笑,我感觉自己的脸颊火辣辣的,恨不得找个地缝钻进去。
数学,就是我学生生涯中挥之不去的噩梦。
尤其是想到明年就要高考,而数学这150分,我可能连一半都拿不到,我就更是头皮发麻,夜不能寐。
就在我陷入深深的自我怀疑和焦虑时,一个清脆悦耳的声音,像一股清泉,在我耳边响起。
林凡同学,这道题其实不难,你只是……没找到正确的方法而已。
我猛地抬起头,只见邻座那个如同从画中走出来的女孩,正微笑着看着我。
她叫苏沐雪,我们班的班长,也是全校公认的校花兼学霸。
肤白貌美,气质清冷,成绩更是常年霸占年级第一的宝座,尤其是数学,据说她每次考试都能轻松拿到满分。
她……她竟然会主动跟我说话
而且,还要给我讲数学
我有些不敢相信自己的耳朵,感觉自己像是在做梦。
苏……苏同学,你……你说什么我结结巴巴地问道,脸颊有些发烫。
苏沐雪的嘴角微微上扬,露出了一个浅浅的酒窝,像春日里绽放的梨花,美得让人心悸。
我说,我可以帮你补习数学。她眨了眨那双清澈明亮的眼睛,语气温柔而坚定。
只要你愿意,我可以把我所有的学习方法和解题技巧,都教给你。
那一刻,我看着她脸上那自信而温暖的笑容,感觉自己那颗早已被数学虐得千疮百孔的心,突然……漏跳了一拍。
或许,我的数学,还有救
第二章：校花的魔鬼补习与函数初体验
放学后,我怀着忐忑而又有些期待的心情,跟着苏沐雪来到了学校的图书馆。
夕阳的余晖透过窗户,洒在她白皙的侧脸上,给她镀上了一层柔和的光晕,美得像一幅精心描绘的油画。
我有些不敢直视她的眼睛,只能低着头,默默地跟在她身后。
林凡同学,我们先从最基础的函数开始吧。苏沐雪在一张安静的阅览桌旁坐下,从书包里拿出了一本厚厚的数学辅导书。
函数,是整个高中数学的核心,也是高考的重中之重。
她一边说着,一边翻开书,指着上面那些密密麻麻的定义和公式。
你看,2025年的高考大纲里明确指出,函数与方程部分,会重点考查函数性质、图像、反函数、指数与对数函数,并且会强调实际应用问题的解决。
我看着那些如同天书般的符号和文字,只觉得头晕眼花,一个头两个大。
苏……苏同学,这些……我都看不懂啊。我有些不好意思地挠了挠头。
苏沐雪并没有因此而生气或者不耐烦,反而耐心地对我笑了笑。
没关系,我们一点一点来。
函数,其实就像一个神奇的‘加工厂’。她用笔在纸上画了一个简单的示意图。
你给它一个‘原材料’（自变量x）,它就会按照特定的‘加工规则’（函数表达式f）,生产出一个‘成品’（函数值y）。
比如,我们最常见的一次函数
y
=
kx
+
b,它的‘加工规则’就是先乘以一个系数k,再加上一个常数b。
而二次函数
y
=
ax
+
bx
+
c,它的‘加工规则’就更复杂一些,涉及到平方、乘法和加法。
她用这种生动形象的比喻,将枯燥乏味的函数定义,解释得通俗易懂。
我听得津津有味,感觉自己那颗早已对数学绝望的心,似乎……又重新燃起了一丝希望。
理解了函数的定义,我们再来看函数的性质。苏沐雪继续说道。
比如,单调性,就是指函数图像是上升还是下降；奇偶性,就是指函数图像是否对称；周期性,就是指函数图像是否会重复出现……
她一边讲,一边在纸上画出各种各样函数的图像,让我对这些抽象的概念,有了更直观的认识。
还有反函数,你可以把它理解为‘加工厂’的‘逆向操作’。
如果函数f能把x加工成y,那么它的反函数f就能把y还原成x。
当然,并不是所有的函数都有反函数,只有那些‘一对一’的函数,才能进行‘逆向操作’。
在苏沐雪耐心而细致的讲解下,我感觉自己对函数的理解,正在一点点地加深。
那些曾经让我望而生畏的符号和公式,似乎也变得……不那么可怕了。
好了,今天我们先讲到这里。苏沐雪合上书,看了看墙上的时钟。
回去之后,你把这些概念好好消化一下,再做几道练习题巩固一下。
明天,我们继续学习指数函数和对数函数。
我看着她那双充满鼓励的眼睛,用力地点了点头。
谢谢你,苏同学！我一定会努力的！
虽然,我知道,我的数学之路,还很漫长,也很艰难。
但是,有她在,我似乎……有了坚持下去的勇气。
第三章：向量的奥秘与几何的共舞
接下来的日子,苏沐雪成了我数学学习的专属导师。
每天放学后,我们都会在图书馆里,一起学习,一起讨论。
在她的帮助下,我的数学成绩,开始有了……呃……微不足道的进步。
至少,我已经能看懂黑板上的那些符号了,虽然还是不会做题。
林凡同学,今天我们学习平面向量与解析几何。苏沐雪翻开新的一章,语气依旧温柔。
这也是高考的重点和难点,尤其是向量运算、坐标表示和几何应用,比如距离公式、定比分点,都是高频考点。
我看着书上那些带着箭头的线段,和密密麻麻的坐标点,感觉自己的脑袋又开始隐隐作痛。
苏……苏同学,这个向量……到底是个什么东西啊我有些茫然地问道。
你可以把向量理解为……一种既有大小,又有方向的‘力’。苏沐雪想了想,打了个比方。
比如,你推一个箱子,你用的力,就是一个向量,它有大小（你用了多大的力）,也有方向（你往哪个方向推）。
在数学里,我们用一个带箭头的线段来表示向量,箭头的指向代表方向,线段的长度代表大小。
她一边说,一边在纸上画出了几个不同方向和长度的向量。
向量的运算,也很简单。苏沐雪继续说道。
比如,向量的加法,就相当于两个力的合成,你可以用平行四边形法则,或者三角形法则来计算。
向量的减法,就相当于一个力减去另一个力,可以看作是加法的逆运算。
还有向量的数量积,也叫点乘,它可以用来计算两个向量的夹角,或者判断两个向量是否垂直。
向量的坐标表示,就更直观了。苏沐
雪在纸上画了一个坐标系。
我们可以用一个有序数对
(x,
y)
来表示一个平面向量,其中x代表向量在x轴上的投影,y代表向量在y轴上的投影。
这样,我们就可以用代数的方法,来解决几何问题了,比如计算两点之间的距离,或者求一个点的分点坐标。
在苏沐雪的讲解下,我感觉自己对向量的理解,又进了一步。
原来,这些看似复杂的概念,背后都有着如此生动形象的解释。
向量在几何中的应用,非常广泛。苏沐雪的眼神闪烁着智慧的光芒。
比如,我们可以用向量来证明三点共线,或者判断两条直线是否平行或垂直。
我们还可以用向量来解决一些与角度和距离相关的问题,比如计算三角形的面积,或者求一个点到一条直线的距离。
她一边说,一边给我举了很多例子,让我对向量的应用,有了更深刻的认识。
当然,解析几何部分,也离不开向量的知识。苏沐雪翻到书的后面。
比如,直线方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线……这些曲线的性质和方程,都需要用到向量的知识来推导和理解。
而且,高考中,经常会将向量和解析几何结合起来,出一些综合性比较强的解答题,考查我们的综合应用能力。
我听着苏沐雪滔滔不绝地讲解,感觉自己的大脑,像一块干涸的海绵,疯狂地吸收着知识的甘霖。
虽然,有些地方,我还是听得云里雾里,似懂非懂。
但是,至少,我已经不再像以前那样,对数学感到恐惧和厌恶了。
反而,我开始觉得,数学……似乎也挺有趣的
尤其是,当苏沐雪用她那双清澈明亮的眼睛看着我,耐心地为我解答每一个疑问的时候。
我感觉自己的心,像被羽毛轻轻拂过,痒痒的,暖暖的。
或许,我努力学习数学的动力,并不仅仅是为了提高成绩,更是为了……能和她多待一会儿
这个念头一出来,我自己都吓了一跳。
林凡啊林凡,你清醒一点！人家是校花学霸,你是学渣菜鸟！你们根本就不是一个世界的人！
不要再做这种不切实际的白日梦了！
我甩了甩脑袋,努力把那些乱七八糟的想法赶出去,重新将注意力集中在苏沐雪的讲解上。
林凡同学,你怎么了是不是累了苏沐雪注意到我的异样,关切地问道。
没……没什么。我连忙摆了摆手,脸颊有些发烫。
我们……我们继续吧。
苏沐雪看着我那副窘迫的样子,嘴角微微上扬,露出了一个意味深长的笑容。
那一刻,我感觉自己的心,又漏跳了一拍。
第四章：概率的迷雾与统计的陷阱
时间过得飞快,转眼间,期中考试就要到了。
在苏沐雪的魔鬼补习下,我的数学成绩,虽然还没有突飞猛进,但也算是……稳中有升。
至少,我已经能及格了,而且,偶尔还能蒙对几道选择题和填空题。
这对我来说,已经是天大的进步了。
林凡同学,今天我们学习概率与统计。苏沐雪翻开书,表情有些严肃。
这也是高考的必考内容,而且,根据最新的考纲解析,这部分的难度,可能会有所提升,需要我们结合实际问题进行分析。
我一听到难度提升这四个字,头皮就一阵发麻。
苏……苏同学,这个概率……是不是就是算彩票中奖的概率啊我小心翼翼地问道。
苏沐雪被我逗笑了,嗔怪地白了我一眼：你呀,就知道想这些不切实际的。
不过,你说的也没错,概率,确实是研究随机事件发生可能性大小的一门学科。
比如,掷骰子,抛硬币,抽奖……这些都属于随机事件。
而我们要做的,就是通过数学的方法,来计算这些事件发生的概率。
她一边说,一边在纸上画出了一个简单的概率树状图。
概率的计算,有很多方法,比如古典概型,几何概型,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式……
还有一些重要的概念,比如独立事件,互斥事件,对立事件……
这些都需要我们熟练掌握,才能灵活运用。
我听着那一连串陌生的名词和公式,感觉自己的大脑又开始罢工了。
苏……苏同学,这些……也太复杂了吧我苦着脸说道。
没关系,我们一个一个来。苏沐雪耐心地安慰道。
其实,概率并没有你想象的那么难,只要你理解了其中的逻辑,掌握了基本的方法,就能迎刃而解。
她开始从最简单的古典概型讲起,用掷骰子的例子,生动形象地解释了概率的计算方法。
然后,又结合实际生活中的例子,讲解了条件概率和全概率公式的应用。
渐渐地,我感觉自己对概率的理解,也清晰了一些。
至于统计部分,主要是研究如何收集、整理、分析和解释数据。苏沐雪继续说道。
比如,我们要估计一个地区的人口数量,或者预测一种产品的销量,就需要用到统计的方法。
统计中,有很多重要的参数,比如平均数,中位数,众数,方差,标准差……
还有一些常见的统计图表,比如条形图,折线图,饼图,直方图……
这些都是我们分析数据,得出结论的重要工具。
她一边说,一边给我看了一些真实的数据案例,让我对统计的应用,有了更直观的认识。
高考中,概率与统计部分,经常会出一些与实际生活相关的应用题。苏沐雪的表情变得严肃起来。
比如,产品质量检测,市场调查分析,疾病传播预测……
这些题目,不仅考查我们对基本概念和公式的掌握,更考查我们的数据分析能力和逻辑推理能力。
所以,我们平时要多关注一些社会热点问题,学会用数学的眼光去看待和分析这些问题。
我听着苏沐雪的讲解,感觉自己对数学的认识,又提升了一个新的高度。
原来,数学并不仅仅是那些枯燥乏味的符号和公式,它还与我们的生活息息相关,能帮助我们解决很多实际问题。
好了,今天的内容就到这里。苏沐雪合上书,伸了个懒腰,露出了一个轻松的笑容。
回去之后,记得多做一些相关的练习题,尤其是那些与实际应用相关的题目。
如果有什么不懂的地方,随时可以来问我。
我看着她那双充满鼓励和信任的眼睛,心中充满了感激和……一丝丝的悸动。
谢谢你,苏沐雪。我第一次,鼓起勇气,叫了她的名字,而不是苏同学。
苏沐雪闻言,微微一愣,随即脸上露出了一个更加灿烂的笑容。
不客气,林凡。
那一刻,我感觉我们之间的距离,似乎……又近了一些。
第五章：导数的锋芒与微积分的奥秘
期中考试的成绩出来了。
我的数学,竟然……考了95分！
虽然,离苏沐雪的满分,还差得很远。
但是,这对我来说,已经是历史性的突破了！
我激动得差点跳起来,第一个想分享喜悦的人,就是苏沐雪。
苏沐雪！我考了95分！我竟然考了95分！我拿着成绩单,兴奋地跑到她面前。
苏沐雪看着我那副手舞足蹈的样子,也由衷地为我感到高兴。
林凡,你真棒！我就知道,你一定能行的！她笑着说道,眼中充满了赞赏。
得到她的肯定,比我自己考了高分还要开心。
不过,我们不能骄傲自满哦。苏沐雪话锋一转,表情又恢复了平日里的认真。
接下来,我们要学习更难的内容了——导数与微积分。
这也是2025年高考数学的新增和调整内容,需要我们重点掌握。
我一听到更难这两个字,心中的喜悦瞬间被冲淡了一半。
导……导数微积分我有些底气不足地问道。
那……那是什么东西啊
你可以把导数理解为……函数图像在某一点的‘斜率’,或者说,是函数变化的‘快慢程度’。苏沐雪解释道。
比如,一辆汽车在行驶,它的速度,就是路程对时间的导数。
通过导数,我们可以判断函数的单调性（上升还是下降）,找到函数的极值（最大值或最小值）,甚至解决一些实际生活中的优化问题,比如如何才能用最少的材料,制作一个容积最大的容器。
她一边说,一边在纸上画出了一个生动的例子,让我对导数的概念,有了初步的认识。
而微积分,则是研究函数变化和积累的一门学科。苏沐雪继续说道。
它包括微分和积分两个部分,微分研究的是‘瞬间变化率’,积分研究的是‘累积总量’。
比如,我们要计算一个不规则图形的面积,或者一个变速运动物体在一段时间内走过的路程,就需要用到积分的方法。
我听着这些全新的概念,感觉自己的大脑又开始不够用了。
这些东西,听起来……比函数和向量还要抽象,还要难懂啊！
苏沐雪,我……我能学会吗我有些不自信地问道。
当然能！苏沐雪看着我,眼神坚定而充满鼓励。
林凡,你要相信自己,你比你想象的要聪明得多。
只要你肯努力,肯下功夫,就没有什么能难倒你的。
她的声音,像一股温暖的泉水,滋润着我干涸的心田。
也像一盏明灯,照亮了我前进的道路。
在接下来的日子里,苏沐雪开始系统地给我讲解导数和微积分的知识。
从导数的定义、几何意义、求导法则,到利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
从定积分的定义、几何意义、牛顿-莱布尼茨公式,到利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。
每一个概念,每一个公式,她都讲得深入浅出,条理清晰。
她还会找很多典型的例题,一步一步地教我如何分析,如何解答。
遇到我理解不了的地方,她也从不不耐烦,总是耐心地,一遍又一遍地给我讲解,直到我完全弄明白为止。
渐渐地,我感觉自己对导数和微积分的理解,也越来越深刻了。
那些曾经让我望而生畏的符号和公式,似乎也变得……不那么可怕了。
我开始尝试着自己解决一些比较复杂的题目,虽然还是会遇到很多困难,但我不再像以前那样,轻易地放弃了。
因为我知道,苏沐雪就在我身边,她会一直支持我,鼓励我。
为了她,我也要努力,也要坚持下去！
第六章：立体几何的空间之舞与数学文化的熏陶
随着学习的深入,我们开始接触到立体几何这个模块。
林凡,立体几何主要研究的是空间图形的位置关系、距离计算、二面角等问题。苏沐雪指着书上的各种立体图形说道。
这部分内容,对我们的空间想象能力要求比较高。
而且,高考中,经常会要求我们结合向量的方法来解决立体几何问题。
我看着那些点、线、面在三维空间中交错纵横,感觉自己的脑袋都快变成一团浆糊了。
苏沐雪,我……我空间想象能力好像不太好啊。我有些沮丧地说道。
没关系,空间想象能力是可以培养的。苏沐雪安慰道。
我们可以多看一些立体图形的模型,多动手画一些草图,慢慢地就能找到感觉了。
她开始从最基础的点、线、面之间的位置关系讲起,比如直线与直线平行、相交、异面；直线与平面平行、相交；平面与平面平行、相交……
然后,又教我如何计算空间中的各种距离,比如点到点的距离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线与直线之间的距离,直线与平面之间的距离,平面与平面之间的距离……
还有二面角的计算,更是让我头疼不已。
那些繁琐的步骤和复杂的公式,看得我眼花缭乱。
苏沐雪,这个二面角……也太难了吧我忍不住抱怨道。
确实有些难度。苏沐雪点了点头。
但是,只要我们掌握了基本的方法,比如定义法,三垂线定理法,向量法……再多加练习,就能攻克它了。
她开始耐心地给我讲解每一种方法的思路和步骤,并结合具体的题目进行演示。
渐渐地,我感觉自己对立体几何的理解,也清晰了一些。
虽然,我还是经常会把各种位置关系搞混,把各种公式记错。
但是,至少,我已经不再像以前那样,对它感到恐惧和排斥了。
除了这些核心模块,2025年的高考数学,还新增和调整了一些内容。苏沐雪翻到书的后面。
比如,不等式部分,会强调一元二次不等式和均值不等式的求解与最值应用。
数学归纳法与数列部分,会加强对数列通项公式和数学归纳法的逻辑推理能力的考查。
还有,试题中可能会融入更多的数学文化和实践情境,比如一些与经济、科技相关的问题,考查我们的数学建模能力。
我听着这些新增的内容,感觉自己的压力又大了一些。
高考数学,果然不是那么容易就能征服的啊！
林凡,别担心。苏沐雪看出了我的焦虑,温柔地拍了拍我的肩膀。
只要我们夯实基础,系统梳理知识点,强化真题训练,培养综合能力,就一定能取得好成绩的。
而且,你要记住,数学并不仅仅是为了应付考试。
它更是一种思维方式,一种解决问题的能力。
学会用数学的眼光去看待世界,你会发现,这个世界……比你想象的还要奇妙。
她的声音,像一股清泉,流进我的心田。
也像一盏明灯,照亮了我未来的方向。
那一刻,我看着她那双充满智慧和力量的眼睛,心中涌起一股前所未有的勇气和决心。
苏沐雪,谢谢你。
谢谢你让我重新认识了数学,也重新认识了自己。
为了你,也为了我自己,我一定会努力,一定会坚持下去！
我一定会在明年的高考中,取得一个……让你刮目相看的成绩！
第七章：模拟考的洗礼与校花的约定
高三的第一次模拟考试,如期而至。
这是对我们这段时间学习成果的一次检验,也是对我们心理素质的一次考验。
走进考场的那一刻,我的手心微微有些出汗。
虽然,在苏沐雪的帮助下,我的数学已经有了很大的进步。
但是,面对这样重要的考试,我还是有些紧张。
我深吸一口气,努力让自己平静下来。
然后,我开始认真地审题,仔细地计算,将苏沐雪教给我的那些方法和技巧,一一运用到解题之中。
选择题,填空题,解答题……
时间,一分一秒地过去。
我感觉自己,仿佛进入了一种奇妙的状态。
那些曾经让我头疼不已的题目,此刻在我眼中,似乎都变得……清晰起来了。
我能迅速地找到解题的思路,准确地运用相关的公式和定理。
甚至,我还发现了一些简捷的运算方法,大大提高了我的解题速度。
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当考试结束的铃声响起时,我长长地舒了一口气。
虽然,我不知道自己能考多少分。
但是,我知道,我已经尽力了。
我已经把我所学到的知识,都发挥出来了。
这就够了。
几天后,模拟考试的成绩出来了。
我怀着忐忑的心情,从班主任手中接过了成绩单。
当看到数学那一栏的分数时,我简直不敢相信自己的眼睛！
135分！
我竟然考了135分！
这……这是我以前想都不敢想的成绩啊！
我激动得差点跳起来,眼眶也有些湿润。
我做到了！我真的做到了！
我第一个想分享喜悦的人,依旧是苏沐雪。
我拿着成绩单,飞奔到她的座位旁。
苏沐雪！你看！我考了135分！我兴奋地说道,声音都有些颤抖。
苏沐雪看着我手中的成绩单,脸上露出了欣慰而骄傲的笑容。
林凡,你太棒了！我就知道,你一定能创造奇迹！她由衷地赞叹道。
那一刻,我看着她那双比星辰还要明亮的眼睛,感觉自己所有的努力和付出,都值得了。
不过,我们不能因此而骄傲哦。苏沐雪很快又恢复了平日里的冷静。
模拟考试的成绩,只能代表过去。
我们的目标,是明年的高考！
接下来,我们要针对这次考试中暴露出来的问题,进行查漏补缺,进一步提升自己。
我用力地点了点头,眼神中充满了坚定和自信。
苏沐雪,谢谢你。我看着她,真诚地说道。
如果没有你,我不可能取得这样的成绩。
是你,让我重新找回了学习数学的信心和乐趣。
是你,让我看到了……未来的希望。
苏沐雪闻言,脸颊微微有些泛红,眼神也有些躲闪。
林凡,你不用谢我。她轻声说道。
能帮助你,我也很开心。
而且,能和你一起学习,一起进步,我也……很享受这个过程。
她的声音,越来越小,像蚊子叫一样。
但我却听得清清楚楚,每一个字,都像羽毛一样,轻轻地搔刮着我的心房。
那一刻,我感觉我们之间的气氛,变得有些……微妙起来。
空气中,弥漫着一种淡淡的,甜甜的味道。
苏沐雪……我鼓起勇气,看着她的眼睛,一字一句地说道。
等高考结束,我……我想请你看电影,可以吗
苏沐雪闻言,猛地抬起头,眼中闪过一丝惊讶和……羞涩。
她咬着嘴唇,犹豫了片刻,然后,轻轻地点了点头。
好。
虽然,只是一个简单的好字。
但对我来说,却像是天籁之音。
那一刻,我感觉自己,拥有了全世界。
我知道,我们的故事,才刚刚开始。
而数学,这门曾经让我望而生畏的学科,也因为她的出现,变得……不再那么可怕了。
反而,它像一座桥梁,连接起了我和她。
让我们在追逐梦想的道路上,并肩前行,互相鼓励,共同成长。
或许,这就是……青春最美好的样子吧。
而我,也期待着,高考结束的那一天。
期待着,和她一起,走进电影院,开始我们……新的故事。
夕阳的余晖,将图书馆的窗棂染上了一层温暖的金色。
模拟考的喜悦渐渐平息,我和苏沐雪又回到了往常的补习节奏。
只是,空气中似乎多了一丝难以言喻的甜蜜和……默契。
林凡,虽然你这次模拟考进步很大,但我们不能掉以轻心。苏沐雪的表情依旧认真,但语气却比以前柔和了许多。
高考的题型会更加灵活,对基础知识的理解和综合应用能力的要求也会更高。
所以,接下来,我要给你出一些题目,检验一下你对各个模块知识点的掌握程度,好吗
我立刻挺直了腰板,像一个即将接受检阅的士兵：没问题！苏老师请出题！
苏沐雪被我逗笑了,嗔怪地白了我一眼：贫嘴。
她从书包里拿出一个精致的笔记本和一支笔,开始认真地思考起来。
第一题：函数与方程
(基础热身)
我们先从最基础的函数开始。苏沐雪的笔尖在纸上沙沙作响。
已知函数
f(x)
=
ax
+
bx
+
cx
+
d
的图像关于原点对称,且当
x
＞
0
时,f(x)
的图像与函数
g(x)
=
ln(x)
的图像有且仅有一个交点。求
a,
c
的值,并判断
b,
d
的值。
我看着这道题,感觉……好像有点眼熟
函数图像关于原点对称,意味着它是奇函数。
奇函数的性质是
f(-x)
=
-f(x),而且如果定义域包含0,那么
f(0)
=
0。
我把
f(-x)
=
-f(x)
和
f(0)
=
0
代入函数表达式,一番捣鼓。
嗯……奇函数的话,偶次项系数为0,常数项也为0。我小心翼翼地说道。
所以,b
=
0,d
=
0。
苏沐雪微笑着点了点头：不错,基础概念掌握得还挺扎实。
那么,a
和
c
呢以及那个交点的问题,你怎么看
这个问题稍微有点难度了。
我想了想,当
x
＞
0
时,f(x)
=
ax
+
cx,要和
g(x)
=
ln(x)
只有一个交点。
这意味着,它们的图像在该点相切
相切的话,函数值相等,导数值也相等！
是不是……它们在交点处的函数值相等,导数值也相等我试探着问道。
思路很对！苏沐雪的眼中闪过一丝赞赏。
那接下来,你会怎么做
我深吸一口气,开始在草稿纸上演算起来。
设交点为
(x,
y),则
ax
+
cx
=
ln(x),且
3ax
+
c
=
1/x。
两个方程,三个未知数……好像还少一个条件
我皱起了眉头,陷入了沉思。
苏沐雪看着我冥思苦想的样子,嘴角微微上扬,并没有急着提示我。
她似乎很享受这种引导我独立思考的过程。
突然,我灵光一闪！
原点对称！也就是说,图像在原点处的切线,是不是也有什么特殊性
不不不,这个思路好像不对。
等等,f(x)
的图像与
g(x)
=
ln(x)
的图像有且仅有一个交点。
这意味着,它们在那个点,不仅函数值相等,导数值相等,而且……它们在那一点的变化趋势,应该是一致的
我感觉自己好像抓住了什么,但又说不太清楚。
林凡,你再想想,如果只有一个交点,并且是相切的情况,那它们的二阶导数在那个点,会不会有什么关系苏沐雪适时地提醒了一句。
二阶导数
我愣了一下,这个概念我好像……学过,但不太熟。
苏沐雪看出了我的窘迫,耐心地解释道：二阶导数可以反映函数图像的凹凸性。
如果两个函数在某一点相切,并且在该点附近,它们的凹凸性也一致,那么它们就可能只有一个交点。
在苏沐雪的引导下,我茅塞顿开！
经过一番复杂的计算和推理（中间还被苏沐雪纠正了好几个低级错误）,我终于……还是没能完全解出来。
唉,苏沐雪,我还是太笨了。我有些沮丧地挠了挠头。
苏沐雪却笑着摇了摇头：林凡,你已经很棒了。
这道题,对你来说,确实有些超纲了,它涉及到了一些大学数学的内容。
我只是想通过这道题,让你明白,数学知识是融会贯通的,有时候,多了解一些,就能从更高的角度去看待问题。
这道题的答案是
a
=
1/(6e),c
=
1/(2e)。她拿起笔,在纸上写下了详细的解题过程。
看着她那行云流水般的板书,和清晰严谨的逻辑推理,我心中充满了敬佩和……一丝丝的挫败感。
学霸的世界,果然不是我这种学渣能轻易理解的。
第二题：平面向量与解析几何
(难度升级)
好了,我们来做一道向量和解析几何的综合题。苏沐雪翻开了笔记本的下一页。
已知点
A(-2,
0),B(2,
0),动点
P(x,
y)
满足
|PA|
-
|PB|
=
2a
(a
＞
0),且点
P
的轨迹为曲线
C。
（1）若曲线
C
过点
M(3,
√5),求曲线
C
的方程。
（2）若直线
l:
y
=
kx
+
m
与曲线
C
交于两点
E,
F,且向量
OE
·
向量
OF
=
0
(O为坐标原点),求证：m
=
a(1
-
k)。
我看着这道题,感觉……比上一道题还要难！
|PA|
-
|PB|
=
2a这……这是双曲线的定义啊！
而且,焦点在
x
轴上,中心在原点。
苏沐雪,这个曲线
C
是不是双曲线我试探着问道。
没错！苏沐雪赞许地点了点头。
那你还记得双曲线的标准方程是什么吗
呃……是
x/a
-
y/b
=
1,还是
y/a
-
x/b
=
1
来着我有些不确定地挠了挠头。
苏沐雪无奈地笑了笑：是
x/a
-
y/b
=
1,因为焦点在
x
轴上。
而且,题目中给的是
|PA|
-
|PB|
=
2a,所以
a
就是双曲线的实半轴长。
那么,b
和
c
呢它们之间有什么关系
c
=
a
+
b！这个我记得！
很好！苏沐雪继续引导我。
第一问,曲线
C
过点
M(3,
√5),你把这个点的坐标代入双曲线方程,再结合
c
的值（因为焦点是
A
和
B,所以
c
=
2）,就能求出
a
和
b
的值,从而得到曲线
C
的方程了。
在苏沐雪的提示下,我开始在草稿纸上演算起来。
将点
M(3,
√5)
代入
x/a
-
y/b
=
1,得到
9/a
-
5/b
=
1。
又因为
c
=
2,所以
c
=
4
=
a
+
b。
两个方程,两个未知数,解这个方程组……对我来说,还是有点挑战性的。
我算了半天,满头大汗,最后还是苏沐雪帮我指出了一个计算错误,才勉强解了出来。
a
=
1,b
=
3。我有些不好意思地说道。
所以,曲线
C
的方程是
x
-
y/3
=
1。
嗯,第一问做出来了。苏沐雪点了点头。
那么,第二问呢直线
l
与曲线
C
交于两点
E,
F,且向量
OE
·
向量
OF
=
0,这个条件是什么意思
向量
OE
·
向量
OF
=
0
我想了想,如果两个向量的点乘等于0,那说明……这两个向量垂直！
也就是说,OE
⊥
OF。
苏沐雪,是不是
OE
垂直于
OF我有些兴奋地说道。
没错！苏沐雪的眼中闪过一丝欣慰。
那么,接下来你会怎么做
将直线
l
的方程
y
=
kx
+
m
代入双曲线
C
的方程
x
-
y/3
=
1。
然后,消去
y,得到一个关于
x
的一元二次方程。
设点
E(x,
y),F(x,
y),则
x
和
x
是这个一元二次方程的两个根。
根据韦达定理,我们可以得到
x
+
x
和
xx
的表达式。
又因为
OE
⊥
OF,所以
xx
+
yy
=
0。
而
y
=
kx
+
m,y
=
kx
+
m。
将这些关系式代入
xx
+
yy
=
0,一番化简和计算,最终应该就能证明出
m
=
a(1
-
k)
了。
思路是清晰的,但是,中间的计算过程,却充满了陷阱和挑战。
我深吸一口气,拿起笔,开始在草稿纸上奋笔疾书。
将
y
=
kx
+
m
代入
x
-
y/3
=
1,得到：
x
-
(kx
+
m)/3
=
1
3x
-
(kx
+
2kmx
+
m)
=
3
(3
-
k)x
-
2kmx
-
(m
+
3)
=
0
这是一个关于
x
的一元二次方程。
因为直线
l
与双曲线
C
交于两点
E,
F,所以这个方程有两个不相等的实数根
x
和
x。
因此,判别式
Δ
=
(-2km)
-
4(3
-
k)(-m
-
3)
＞
0。
根据韦达定理,我们可以得到：
x
+
x
=
2km
/
(3
-
k)
xx
=
-(m
+
3)
/
(3
-
k)
又因为
y
=
kx
+
m,y
=
kx
+
m,所以：
yy
=
(kx
+
m)(kx
+
m)
=
kxx
+
km(x
+
x)
+
m
将
x
+
x
和
xx
的表达式代入上式,得到：
yy
=
k[-(m
+
3)
/
(3
-
k)]
+
km[2km
/
(3
-
k)]
+
m
yy
=
[-k(m
+
3)
+
2km
+
m(3
-
k)]
/
(3
-
k)
yy
=
[-km
-
3k
+
2km
+
3m
-
km]
/
(3
-
k)
yy
=
(3m
-
3k)
/
(3
-
k)
因为
OE
⊥
OF,所以
xx
+
yy
=
0。
将
xx
和
yy
的表达式代入,得到：
-(m
+
3)
/
(3
-
k)
+
(3m
-
3k)
/
(3
-
k)
=
0
-(m
+
3)
+
(3m
-
3k)
=
0
(因为
3
-
k
≠
0,否则直线与双曲线只有一个交点或无交点)
-m
-
3
+
3m
-
3k
=
0
2m
=
3k
+
3
m
=
(3k
+
3)
/
2
嗯怎么和我记忆中的答案不太一样
我记得双曲线的类似结论,应该是
m
=
a(k
-
e)
或者
m
=
-b(1
-
1/k)
之类的形式。
难道我哪里算错了
我皱着眉头,仔细地检查着每一个步骤,却找不出任何错误。
苏沐雪,我……我算出来的结果,好像不太对啊。我有些不好意思地说道。
苏沐雪接过我的草稿纸,仔细地看了一遍,然后噗嗤一声笑了出来。
林凡,你这个小迷糊。她用笔轻轻地敲了敲我的脑袋。
你看清楚题目,我们第一问求出来的双曲线方程是
x
-
y/3
=
1。
也就是说,a
=
1,b
=
3。
而你刚才推导的结论
m
=
(3k
+
3)
/
2,如果把
a
=
1
代入
m
=
a(1
-
k),得到的是
m
=
1
-
k。
这两个显然是不相等的。
我恍然大悟！
原来,我把第一问的结论,和第二问的待证结论,搞混了！
第二问要证明的是一个通用的结论,适用于所有满足条件的双曲线和直线。
而我却潜意识地,把第一问中求出来的
specific
a
=
1,代入到了思考过程中。
唉,我真是太笨了。我有些懊恼地拍了拍自己的脑袋。
没关系,知错能改,善莫大焉。苏沐雪笑着安慰我。
我们重新梳理一下思路。
关键在于,如何利用
OE
⊥
OF
这个条件,将
xx
和
yy联系起来,并最终化简得到
m
与
a,
k
之间的关系。
在苏沐雪的引导下,我重新整理了思路,将注意力集中在
xx
+
yy
=
0
这个核心关系式上。
xx
+
(kx
+
m)(kx
+
m)
=
0
xx
+
kxx
+
km(x
+
x)
+
m
=
0
(1
+
k)xx
+
km(x
+
x)
+
m
=
0
现在,我们只需要将韦达定理得到的
x
+
x
和
xx
代入这个式子。
x
+
x
=
2km
/
(a
-
ck)
(这里是双曲线与直线联立后的一般形式,a_s
和
b_s
是双曲线的参数,为了避免和题目中的
a
混淆,我们用
c
=
a
+
b
这个关系,以及双曲线标准方程的另一种形式
x/a
-
y/b
=
1
或者
y/a
-
x/b
=
1,与直线
y=kx+m
联立后,整理得到的
x
的一元二次方程系数来表示。假设整理后是
Ax
+
Bx
+
C
=
0,则
x+x
=
-B/A,
xx
=
C/A)
等等,这里我需要更正一下之前的推导,双曲线
x/a
-
y/b
=
1
与直线
y
=
kx
+
m
联立,得到：
bx
-
a(kx
+
m)
=
ab
bx
-
a(kx
+
2kmx
+
m)
=
ab
(b
-
ak)x
-
2akmx
-
a(m
+
b)
=
0
所以,根据韦达定理：
x
+
x
=
2akm
/
(b
-
ak)
xx
=
-a(m
+
b)
/
(b
-
ak)
将这两个表达式代入
(1
+
k)xx
+
km(x
+
x)
+
m
=
0：
(1
+
k)[-a(m
+
b)
/
(b
-
ak)]
+
km[2akm
/
(b
-
ak)]
+
m
=
0
为了消去分母
(b
-
ak),我们假设
b
-
ak
≠
0
(即直线与双曲线有两个不同的交点)。
两边同乘以
(b
-
ak),得到：
(1
+
k)[-a(m
+
b)]
+
km[2akm]
+
m(b
-
ak)
=
0
展开这个式子：
-am
-
ab
-
akm
-
abk
+
2akm
+
mb
-
akm
=
0
化简：
-am
-
ab
-
abk
+
mb
=
0
m(b
-
a)
=
ab(1
+
k)
m
=
ab(1
+
k)
/
(b
-
a)
这个结果……好像还是不对啊！
我记得双曲线的弦中点,或者与垂直相关的结论,通常都比较简洁。
我一定是哪里搞错了,或者漏掉了什么重要的条件。
苏沐雪看着我抓耳挠腮的样子,忍不住又笑了。
林凡,你不要钻牛角尖。
有时候,换一种思路,可能会豁然开朗。
我们再回到
OE
·
OF
=
0
这个条件。
设点
E(x,
y),F(x,
y),那么这个条件等价于
xx
+
yy
=
0。
你有没有想过,这个式子,和双曲线的渐近线,有什么关系
双曲线的渐近线
我愣了一下,这个……我还真没想过。
苏沐雪看我一脸茫然,继续提示道：双曲线
x/a
-
y/b
=
1
的渐近线方程是
y
=
±(b/a)x。
如果
OE
⊥
OF,并且
O,
E,
F
都在双曲线上或者与双曲线相关的直线上,这会不会暗示着某种特殊的几何关系
在苏沐雪的循循善诱下,我感觉自己的思路,渐渐清晰起来。
如果
OE
⊥
OF,那意味着直线
OE
和
OF
的斜率之积等于
-1。
设直线
OE
的斜率为
k,直线
OF
的斜率为
k,则
kk
=
-1。
而
k
=
y/x,k
=
y/x。
所以,(y/x)(y/x)
=
-1,即
yy
=
-xx。
将这个关系代入
xx
+
yy
=
0,得到
xx
-
xx
=
0。
这……这不就直接证明了
OE
⊥
OF
吗
不对不对,我是要用
OE
⊥
OF
来推导
m,
a,
k
之间的关系。
看来,我还是没有真正理解苏沐雪的提示。
林凡,你再想想。苏沐雪耐心地说道。
如果直线
l:
y
=
kx
+
m
与双曲线
C
交于
E,
F
两点,并且
OE
⊥
OF。
那么,我们可以将直线方程和双曲线方程联立,得到一个关于
x
(或
y)
的一元二次方程。
这个方程的两个根,就是
E,
F
两点的横坐标
(或纵坐标)。
而
OE
·
OF
=
xx
+
yy
=
0
这个条件,为我们提供了一个额外的约束。
我们需要做的,就是将这个约束条件,用韦达定理和直线方程,巧妙地联系起来。
在苏沐雪不厌其烦地启发和引导下,我终于……还是卡壳了。
我感觉自己的脑细胞,已经死伤殆尽了。
苏沐雪,我……我投降了。我有些沮丧地说道。
这道题,对我来说,实在是太难了。
苏沐雪看着我那副垂头丧气的样子,轻轻地叹了口气。
林凡,其实你已经很接近答案了。
只是,你还没有找到最关键的那个突破口。
她拿起笔,在纸上写下了一行字：
联立直线与双曲线方程,利用韦达定理,将
xx
和
yy
用
m,
k,
a,
b
表示出来。
然后,代入
xx
+
yy
=
0,化简即可。
看着她那行云流水般的字迹,和清晰明了的思路。
我感觉自己,又一次被学霸碾压了。
虽然,过程有些曲折,甚至可以说是……惨不忍睹。
但是,在苏沐雪的帮助下,我总算是……勉强理解了这道题的解题思路。
虽然,让我独立完成,肯定还是做不出来。
好了,今天就到这里吧。苏沐雪合上笔记本,脸上露出一丝疲惫的笑容。
林凡,你不要灰心。
数学学习,本来就是一个循序渐进,不断积累的过程。
只要你肯坚持下去,就一定能看到进步的。
我看着她那双充满鼓励和信任的眼睛,心中充满了感激和……一丝丝的愧疚。
我觉得自己,好像……辜负了她的期望。
苏沐雪,对不起。我低着头,小声地说道。
我……我好像让你失望了。
苏沐雪闻言,微微一愣,随即伸出手,轻轻地揉了揉我的头发。
傻瓜。她的声音,温柔得像春风拂过湖面。
你没有让我失望。
在我心中,你一直都是……最棒的。
那一刻,我感觉自己的心,像被电流击中一般,酥酥麻麻的。
脸颊,也不受控制地,变得滚烫起来。
苏沐雪……她……她刚才是在……夸我吗
还是在……安慰我
我有些不敢确定,也不敢抬头看她的眼睛。
只能任由那股莫名的情愫,在心中悄悄地蔓延,发酵。
第八章：排列组合的迷宫与概率的骰子
(进阶挑战)
在经历了函数、向量、解析几何和导数的轮番轰炸之后,我对苏沐雪的题库已经产生了一定的心理阴影。
总感觉她下一秒就会掏出一道能让我怀疑人生的题目。
林凡,打起精神来！苏沐雪看着我那副如临大敌的样子,忍不住笑道。
今天我们轻松一点,复习一下排列组合和概率。
轻松一点我表示严重怀疑。
排列组合在我看来,简直就是数学界的迷宫,绕来绕去,总能把我绕晕。
而概率,则像一个永远也猜不透的骰子,充满了未知和……玄学。
我们先来看一道排列组合的题目。苏沐雪的笔尖在纸上轻点。
现有6名同学（甲、乙、丙、丁、戊、己）和3名老师（A、B、C）站成一排合影。
（1）若老师A必须站在正中间,且甲、乙两名同学必须相邻,有多少种不同的站法
（2）若3名老师互不相邻,且甲同学不能站在两端,有多少种不同的站法
我看着这道题,感觉……还好,似乎比之前的那些题目要友善一些。
第一问,老师A站在正中间,这是个固定位置。
甲、乙两名同学必须相邻,可以把他们看作一个整体。
苏沐雪,第一问是不是可以这样想我试探着开口。
先把甲、乙捆绑在一起,看作一个人,那么就有
(6-2+1)
+
(3-1)
=
7
个‘元素’进行排列,考虑到老师A的位置固定,实际上是6个‘元素’在剩下的8个位置中的6个位置排列,不对……
我越说越乱,感觉自己的思路又打结了。
苏沐雪耐心地听着,并没有打断我。
等我说完,她才微笑着指出了我的错误：林凡,你一开始的思路是对的,把甲、乙看作一个整体。
但是,老师A的位置是固定的,所以我们只需要考虑剩下的人和‘甲乙整体’的排列。
一共有
9
个人,老师A占了一个位置,还剩下
8
个位置。
甲、乙捆绑后,看作一个元素,再加上剩下的
4
名同学和
2
名老师,一共是
1
+
4
+
2
=
7
个元素。
这
7
个元素在剩下的
8
个位置中的
7
个位置进行全排列,是
A(8,7)
吗不对,应该是先确定‘甲乙整体’和另外6个人（4同学+2老师）的位置。
不,更简单的方法是,既然老师A的位置固定了,那么就剩下8个位置给剩下8个人排列,所以是
A(8,8)
=
8!
种。
然后,甲、乙两人之间还有
A(2,2)
=
2!
种排列方式。
所以,第一问的总站法应该是
8!
×
2!
吗我越说越糊涂。
苏沐雪轻轻地摇了摇头：林凡,你还是把问题复杂化了。
老师A站在正中间,这个位置是确定的。
剩下
8
个人,甲乙相邻,我们可以把甲乙看作一个整体
X。
那么,现在就有
X,
丙,
丁,
戊,
己,
老师B,
老师C,这
7
个元素进行全排列,有
A(7,7)
=
7!
种方法。
然后,甲乙两人之间还有
A(2,2)
=
2!
种排列方式。
所以,总的站法应该是
7!
×
2!
种。
我恍然大悟！原来这么简单！
我总是习惯性地把简单问题复杂化。
那第二问呢我有些期待地看着苏沐雪。
3名老师互不相邻,且甲同学不能站在两端。
这个可以用插空法。苏沐雪提示道。
先把6名同学进行排列,有
A(6,6)
=
6!
种方法。
然后,这6名同学之间以及两端,一共有
7
个空位。
我们先考虑甲同学不能站在两端的情况。
如果甲同学站在两端,那么就有
2
种选择,剩下
5
名同学全排列是
5!,然后老师插空……
我感觉自己的思路又开始混乱了。
苏沐雪看出了我的窘迫,笑着说道：对于这种既有‘不相邻’又有‘不在特定位置’的题目,我们可以分类讨论,或者用间接法。
我们先考虑3名老师互不相邻的情况。
先把6名同学全排列,有
6!
种方法。
这6名同学形成了
7
个空位（包括两端）。
我们从这
7
个空位中,选出
3
个位置给老师,有
C(7,3)
种方法。
然后,3名老师进行全排列,有
A(3,3)
=
3!
种方法。
所以,仅仅满足3名老师互不相邻的站法有
6!
×
C(7,3)
×
3!
种。
现在,我们再考虑甲同学不能站在两端的情况。
我们可以从所有满足‘3名老师互不相邻’的站法中,减去‘甲同学站在两端且3名老师互不相邻’的站法。
如果甲同学站在左端,那么老师不能和甲相邻（如果题目要求）,或者老师可以和甲相邻但老师之间不相邻。
苏沐雪的思路非常清晰,她一步一步地引导我进行分析和计算。
虽然过程有些复杂,但我感觉自己对排列组合的理解,又加深了一层。
好了,排列组合就先到这里。苏沐雪合上笔记本。
我们再来看一道概率题,轻松一下。
我心中哀嚎,概率题哪里轻松了！
假设一个袋子里有大小相同的红球3个,白球2个,黄球1个。苏沐雪说道。
（1）从袋中随机取出3个球,求取出的3个球中至少有1个红球的概率。
（2）从袋中随机取出1个球,记下颜色后放回,连续取3次,求3次取出的球中恰好有2次是红球的概率。
我看着这道题,感觉……还好,似乎比排列组合要直观一些。
第一问,至少有1个红球,它的对立事件是没有红球,也就是取出的3个球都是白球或黄球。
袋子里一共有
3
+
2
+
1
=
6
个球。
没有红球的情况,就是从
2个白球和
1个黄球（共3个球）中取出3个球,只有一种情况,就是把这3个球都取出来,即
C(3,3)
=
1。
而从6个球中随机取出3个球的总
(情况数)
是
C(6,3)
=
(6×5×4)/(3×2×1)
=
20。
所以,没有红球的概率是
1/20。
那么,至少有1个红球的概率就是
1
-
1/20
=
19/20。
苏沐雪,第一问的答案是
19/20
吗我有些不确定地问道。
完全正确！苏沐雪赞许地点了点头。
看来,你对对立事件的运用,掌握得还不错。
得到她的肯定,我心中一阵窃喜。
那第二问呢苏沐雪继续问道。
从袋中随机取出1个球,记下颜色后放回,连续取3次,求3次取出的球中恰好有2次是红球的概率。
这是有放回的抽取,而且是重复进行3次,恰好有2次是红球……
我想到了二项分布！
每次取出红球的概率是
P(红)
=
3/6
=
1/2。
每次取出非红球的概率是
P(非红)
=
1
-
1/2
=
1/2。
进行3次试验,恰好有2次是红球,可以用二项分布的公式：
P(X=2)
=
C(3,2)
×
(1/2)
×
(1/2)
=
3
×
(1/4)
×
(1/2)
=
3/8。
苏沐雪,第二问的答案是
3/8
吗我有些激动地说道。
完全正确！苏沐雪的眼中闪烁着惊喜的光芒。
林凡,你真的进步太大了！连二项分布都掌握得这么好！
我被她夸得有些不好意思,脸颊微微发烫。
都是……都是你教得好。我小声地说道。
苏沐雪看着我那副害羞的样子,噗嗤一声笑了出来。
那笑容,像春风拂过湖面,荡起阵阵涟漪,也像阳光照进心房,温暖而明媚。
我看着她那比阳光还要灿烂的笑容,感觉自己的心,又一次……沦陷了。